, dağıtımlar( Hatta bilinen fonksiyonları genelleştirdiği gibi) Fonksiyonlar ve olasılık dağıtımlarını hangi genelleştirdiğine karşı çıkılır mı. Onlar işleyen tüm integrableye türev kavramını uzatırlar ve , ve kısmi diferansiyel denklemlerin genelleştirilmiş çözümleri formüle ederdi. Onlar çok non-sürekli problemlerin, doğal bir biçimde diferansiyel denklemlere nerede götürdüğü fizikte önemli ve mühendislikler.
" Fonksiyonları genelleştirdi" 1935 'te Sergei Sobolev tarafından içeri soğuldu mu. Onlar dağıtımların geniş bir teorisini geliştiren Laurent Schwartz tarafından geç 1940sta , bağımsız olarak içeri soğuldular.
//
temel fikir işaret eden8 hatta Fonksiyonlar test eden
//
temel fikire işaret eden
//
temel fikire işaret eden8 Unproblematicin bir uzayında soyut çizgisel işlevsellerle fonksiyonları tanımlamaktır Geleneksel ve terbiyeli fonksiyonlar) . Dağıtımlardaki operatörler test fonksiyonuna hareket eden onlar tarafından anlaşılmış olabilir. Eğer
förneğin ,: R » R
yerel olarak bir integrable fonksiyon , ve
φdir: R » Rdüz bir fonksiyondur( O son derecede , differentiabledir) Yoğun destekle işleyin( Bu yüzden , bazı kapalıdakinin dışında sıfır , takıma aynen sekti) , biz
'i o zaman ayarlarız.bu linearly venin, devamlı olarak φa bağlı oldığı gerçek bir numaradır. Birisi tümden oluşan uzayda sürekli çizgisel işlevsel bir gibi fonksiyon fın o yüzden hakkında düşünebilir" Fonksiyonları test edin" φ.
, aynı şekilde ve φ bir test fonksiyonudur ,
eğer P gerçeklerde bir olasılık dağıtım olursa ve linearlyın, devamlı olarak φa bağlı olan o zaman gerçek bir numaradır: Olasılık dağıtımları hatta test fonksiyonları uzayında sürekli çizgisel işlevseller gibi görülmüş böyle olur. Bu düşüncesi" Test fonksiyonları uzayındaki sürekli çizgisel işlevsel" bir dağıtımın tanımı gibi o yüzden kullanılır mı.
bunun gibi dağıtımlar gerçek numaralarla çoğaldılan olur
bunun gibi dağıtımlar ilave edin, ilave et olan gerçek numaralarla çoğaldılan gerçek numaralarla çoğaldılan olur ve Beraber oldu , Bu yüzden onlar gerçek bir vektör uzayına biçim verirler. Genel olarak , Fakat dağıtımlar onun, dağıtımlar için bir çoğaltmayı tanımlamak için mümkün olmadığının, son derecede differentiable fonksiyonlarla çoğaldılan olur. Bir dağıtımın türevi tanımlamak için
, Biz ilk bir differentiablenin durumu ve integrable fonksiyon fı düşünürüz: R » R. Ifis bir test fonksiyonunun , bizim o zaman bölümler tarafından
kullanma bütünleştirmemiz var( φın, o yüzden sınır değerlerinin, hesaba kadılmış olmak zorunda olan sekilmiş bir takımın dışında sıfır ve olduğu dikkat edin) . Bu eğer S bir dağıtım olursa bizim, türemiş isi'nin'i
tarafından isi'nin'i tanımlamak zorunda olduğumuzu önerir.o bunun, uygun tanım olduğunu ters çevirir; O türevin olağan tanımını uzatır , Her dağıtım differentiable ve türev gemi ambarının alışılmış özellikleri son derecede olur.
örnek: Dirac delta( Sözde Dirac delta fonksiyonu)
o tarafından tanımlanan dağıtım Heaviside adım fonksiyonunun türevidir: Herhangi bir test fonksiyonu için ,
bu yüzden H' = δ. Aynı şekilde , Dirac deltanın türevi her iki bir fonksiyon ne de bir olasılık dağıtımı olmayan bir dağıtımın ilk örneğimiz olan dağıtım
bu ikincisi dağıtımdır. Devamdaki
, Rn 'ın açık bir subset U'ı 'nda ki gerçek-valued dağıtımlar resmen tanımlanmış olacak. ( Yardımcı branş değiştirmeleriyle , birisi tarifi mümkün kompleks-valued dağıtımlar , ve birisi herhangi bir düz teksir edilmiş tarafından Rn'i hatta değiştirebilir. ) İlk , uzay D( U) U 'da ki test fonksiyonlarınını anladılan olmana ihtiyaç duyar. Bir fonksiyon φ: Eğer orada U bunun gibi o φın yoğun bir subset K'ı var olursa U » R yoğun desteğe sahip olmak için söylenir( X) U \ K 'da ki tüm x için = 0. D 'ın öğeleri( U) Son derecede differentiable φı sık sık işlenir mi: Yoğun destekle U » R. Bu gerçek bir vektör uzayıdır. Biz o bir ardışıklık şart koşma tarafından bir topological vektör uzayına ona döneriz( Veya ağ) ( φk) Eğer eğer orada tüm φkın, aynen K 'ın dışı sıfır , ve her ε için & gt olan U bunun gibinin yoğun bir subset K'ı var olursa ve yalnızca 0 'a yakınsar; 0 ve doğal numara d ≥ 0 orada φkın bütünüyle d-th türevlerinin tüm k ≥ k0 mutlak değeri için εdenin, daha küçük olan doğal bir numara k0 bunun gibi var olur. Bu tanımla , D( U) Tam bir topological vektör uzayı olur( Gerçekte , sözde bir LF-uzay) . Topological vektör uzayı D 'ın
ikili uzayı( U) , bütünüyle sürekli çizgisel işlevseller Sdan oluşuyor: D( U) » R , U 'da tüm dağıtımların uzayıdır; O bir vektör uzayıdır ve D' tarafından gösterilir( U) .
fonksiyon f: Eğer o U 'ın her yoğun subset K'ı 'nın üzerinde Lebesgue integrable olursa U » R integrableyi yerel olarak çağırılır. Bu bütünüyle sürekli fonksiyonları hangi içerdiğini işleyen geniş bir sınıfıdır. D 'da ki topology( U) Herhangi bir integrable fonksiyon fın, yerel olarak D 'da sürekli çizgisel işlevsel biri veren bunun gibi bir modada tanımlanır mı( U) Lebesgue ayrılmaz ∫Ufφ dx tarafından test fonksiyonu φnda değeri verilir. İki integrable fı yerel olarak işler ve G D' 'ın aynı öğesini verir( U) Eğer eğer onlar eşit olurlarsa ve yalnızca hemen hemen her yerde. , U 'da ki her radon ölçü μ aynı şekilde( Hangisi olasılık dağıtımlarını içerir) D' 'ın tarifi mümkünler bir öğesi( U) ∫φ dμ test fonksiyonu φnda değerdir.
yön xda dağıtım S 'ın türev dS/dxinin, formül
dS kullanıyor olan tanımlanmış olduğu söylediği gibi/ , Bölümler tarafından bütünleştirme önerir Dx( φ) =- S( Dφ/ Dx) Tüm test fonksiyonları φ için. Bu yolda , Her dağıtım son derecede sık sık differentiabledir , Ve yön xdaki türev D' 'da çizgisel bir operatördür( U) .
uzay D'( U) O ardışıklık tarif etme tarafından yerel olarak dışbükey bir topological vektör uzaya dönülür mü( Sk) Eğer eğer Sk ve yalnızca 0 'a karşı yakınsar( φ) Tüm test fonksiyonları φ için » 0; Bu topology weak- * topologyu çağırılır. Eğer eğer Sk hep aynı şekilde D 'ın subsetsine sekilen tümde 0 'a yakınsarsa ve yalnızca bu durumdur( U) . ( D 'ın E'ı 'nın bir subseti( U) Eğer orada E 'da her φın K 'da desteği var olan U 'ın yoğun bir subset K'ı ve numaralar dn bunun gibi var olursa sekilir mi. ve Dn tarafından seken n-th türevleri var ) Bu topologya göre , dağıtımların farkı sürekli bir operatördür; Bu farkın en diğer tuhafiyesi tarafından paylaşmanmayan önemli ve arzu edilen bir özelliktir. , test fonksiyonları bundan başka( Kendileri dağıtımlar gibi hangi görülmüş olabilir) Yoğun D' 'da mı( U) Bu topologya göre. Eğer ψ
: U » R sık sık son derecede bir differentiable fonksiyondur ve S U 'da bir dağıtımdır , Biz ürün Sψ'i tanımlarız( Sψ) ( φ) = S( ψφ) Tüm test fonksiyonları φ için. Hesap kalıntıları geçerlinin olağan ürün kuralı.
biz söyleriz( Bir dağıtım S'ın yoğun desteği var Var ve Kıvrım
biz eğer her test fonksiyonu φ içinin, ki desteği tamamen K 'ın dışında olan var bir dağıtım S'ın yoğun desteği var olduğunu söyleriz( , Bizim Sımız var φ) = 0. , birisi uzay C∠'da sürekli çizgisel işlevseller gibi yoğun destekle dağıtımları alternatif olarak tanımlayabilir( U) ; C∠'da ki topology( U) Eğer eğer φkın türevleri bütünüyle hep aynı şekilde U 'ın her yoğun subsetinde 0 'a yakınsarsa ve yalnızca φkın, 0 'a yakınsadığı bunun gibini tanımlanır mı. Eğer her ikisi S
: ve T Rn 'da dağıtımlardır ve Onların birisinin yoğun desteği var , O zaman birisi yeni bir dağıtım , S 'ın kıvrım S ∗ T'ı ve T ,ı aşağıdaki gibi tanımlayabilir Eğer φ bir olursa D 'da ki test fonksiyon( Rn) Ve x , Rn 'ın y öğeleri , φxı yazar( Y) = φ( X + y) , ψ( X) = T( φx) Ve( S ∗ T) ( φ) = S( ψ) . Bu fonksiyonların kıvrımının klasik düşüncesini genelleştirir ve Takip eden duyumda farkla uyuşandır:
d/dx( S ∗ T) =( D/dx S) ∗ T = S ∗( D/dx T) . S hakkında daha az kısıtlayıcı varsayımlarda altındaki kıvrım kalıntıları geçerlininbu tanımı ve T. [ 1] [ 2]
'i değiştirir , Birisi yumuşadılmış dağıtımlar , D' 'ın bir subspacesini tanımlayabilir( Rn) . Eğer bir ders çalışmalar Fourier genellikte değiştirirse Bu dağıtımlar yararlıdır: Tüm dağıtımlar yumuşadılan , Fakat tüm dağıtımların biri var. , Fakat tüm dağıtımların değiştiren biri var. Tüm dağıtımları yumuşadılan dağıtımları yumuşadılan Bir Fourieri var Test fonksiyonları
uzayı buraya kullandı , Sözde Schwartz uzay , nerede φ olduğu fonksiyonlar , azalıyor olan son derecede süratle tüm differentiablenin uzayıdır: Rn » R eğer φın herhangi bir türevinin, azalıyor olanı süratle çağırdı. , |x|ın herhangi bir güçüyle çoğalttı , |x| » ∠için 0 'a karşı yakınsar Bu fonksiyonlar seminormsun uygun bir şekilde tanımlanmış bir ailesiyle tam bir topological vektör uzaya biçim verir. Daha fazla dikkatle , α için
, büyüklük nın β multi-indicesine izin verir. Eğer seminorms pαın tüm değerler
ailesi , β Schwartz-uzay 'da yerel olarak dışbükey bir topologyu tarif ederse φ o zaman süratle-decreasingdir. O metrizable ve tamdır. Yumuşadılmış bir dağıtımın
türevi tekrar yumuşadılmış bir dağıtımdır. Sekilmişi genelleştiren dağıtımları yumuşattı( Veya yavaş-growing) İntegrable yerel olarak işler; Yoğun destekle tüm dağıtımlar ve kare-integrable fonksiyonlar dağıtımları yumuşattığı gibi görülmüş bütünüyle olabilir. Çalış Fourier değiştirir , O kompleks-çizgisel dağıtımlar ve kompleks-valued test fonksiyonlarını düşünmek için en iyidir. Olağan sürekli Fourier Schwartz-uzay 'ın o zaman bir automorphismi veren F'i değiştirir , Ve biz yumuşadılmış dağıtım S 'ın Fourier değiştirmesini tanımlayabiliriz( FS) ( φ) = S( Fφ) Her test fonksiyonu φ için. FS böyle tekrar yumuşadılmış bir dağıtımdır. Fourier değiştirilmiş bir süreklidir , Çizgisel , uzayından tam eşlemeli operatör kendine dağıtımları yumuşattı. Bu operasyon duyum o
F 'da farkla uyuşandır( D/dx S) = ix FSve hatta kıvrımla: Yumuşadılmış dağıtım ve ψ eğer S bir olursanın, Rn 'da differentiable fonksiyondan artıyor olan son derecede yavaş yavaş birdir( ψın türevleri çokterimliler kadar bütünüyle en çok hızlı büyüyen kastetme) , Sψ o zaman tekrar yumuşadılmış bir dağıtım ve
Fdir( Sψ) = FS ∗ Fψ.başarısı holomorphic fonksiyonların uzayları test fonksiyonları gibinin, kullanılan olduğu hyperfunctionun fikirinin soruşturmasını götürdüğü gibi işler. Arıtılmış bir teori geliştirilmiş , Mikio Sato tarafından özellikle , Demet teorisi ve birkaç kompleks değişkenleri kullanıyor. Bu dönüştürülmüş özenli matematik , örneğin Feynman ayrılmazlar olabilen sembolik yöntemlerin aralığını uzatır. Dağıtımların teorisinin çoğaltma
ana problemi
böyle , Çizgisel olmayan problemler poz verilmiş olamaz ve Dağıtım teorisinde böyle çözülmez. Kuantum alanı teorisi bağlamında , bu gerçeğin non-bakımı kaynaklarının birisidir" Ayrılmalar" . Henri Epstein ve Vladimir Glaser ikincisi teorinin bağlamında olmasına rağmen matematik yönünden özenliyi geliştirdi( Fakat teknik aşırı derecede) Nedensel karışıklık teorisi , bu diğer durumlarda problemi çözmez. Çok diğer ilginç teoriler non çizgiseldir , Örneğin akıcı dinamik biliminin Navier-Stokes denklemlerinden hoşlanın. Bunun
görünürdesi , cebirlerinin birkaç teorileri hangisi Colombeau'nun 'un arasında geliştirilen fonksiyonları genelleştirdi( Basitleştirdi) Cebir bugün kullanmak için belki en popülerdir.