, Düzenlenmiş bir takım T 'ın veri bir subset S'ı Matematikteki
, Düzenlenmiş bir takım T 'ın veri bir subset S'ı , S 'ın supremumu T 'ın en az öğesidir. Daha muhteşem Veya , o en az ayakkabı yüzü bağladığı gibi sonuç olarak hatta başvurulur( Hatta lub ve LUB) . Supremum , veya , subset S 'a ait olur. Eğer S bir en muhteşem öğeyi içerirse öğenin, supremum olduğu o zaman; Eğer o zaman subsete ait olan değil , supremum değil olursa ve.
Suprema onun, onun, olmak için bir öğe için ne kastettiği hemen açık olduğu gerçek numaraların subsetsi için , rasyonel numaralar , veya herhangi bir diğer ünlü matematiksel yapılar sık sık düşünülür" Greater-veya-eşit" Den başka öğe. Bununla beraber , tanım birisinin, kısmen takımları düzenlenen keyfini nerede düşündüğü düzen teorisinin daha fazla soyut ayarına kolayca genelleştirir. Herhaldedeki
, Suprema , veya maksimalla veya en muhteşem öğelere seken en az ayakkabı yüzüyle kafası karışmış olmaz. Bu yayınlardaki bazı işaretler aşağıda takib eder. Kısmenin içinde gerçek numaralar
'in bir takımının
//
örnekler: S ın
supremumu veya S 'a ait olmayabilir. Rasyonellerin bir takımının supremumu nerede mantıksız olduğu , not üçüncü örnek özellikle( Hangisi rasyonellerin, eksik olduğunu kastetir) . Eğer o zaman takım ona ait olan supremum değer olursa bununla beraber ,. Takımda en muhteşem öğedir Dönem maksimal öğe birisi gerçek numaralar ilgilendiği kadar hatta eş anlamlı uzundur. veya Herhangi bir diğer takımı tamamen düzenledi
yudumdan beri( S) En az ayakkabı yüzü o yudumu göstermek için bağlanır mı( S) ≤ bir , Bir yalnızca kendi birin, S için , ben bağlayan bir ayakkabı yüzü olduğunu göstermeli. E. Bir yalnızca S 'da tüm x için o x ≤ biri göstermeli. O yudum gösterme( S) ≥ bir biraz daha sıkıdır: Herhangi bir b için &; Bir , biz x ≥ bla S 'da bir xı bulmalıyız. İşlevsel analizdeki
, bir supremum normu sık sık düşünür( Hatta üniforma normu gibi bazen başvurdu) Sekilmiş bir fonksiyon fını: X - & gt; R( Veya C) ; O
ve birkaç önemli Banach uzaylara sebebiyet verdiği gibi tanımlanır.
hattayı görür: İnfimum veya en muhteşem aşağı bağlı , limit amir.
bir supremumla gerçek numaraların bir nonempty takımı olan S'e izin verir , B = yudum S'i söyler. Her bir için & lt o zaman; S bunun gibi o
delildeki b bazı x var:
, S 'da ki tüm x için herşeyden önce. O zaman bir eğer S 'da biz hadfor her x en az ayakkabı yüzü bağladığındenin, S daha küçük için bağlanan bir ayakkabı yüzü oluruz. X & gt o yüzden; S 'da ki hiç olmazsa olan x için bir.
veri nonempty subsets bir ve R 'ın B'ı , Eğer birin her birinin, takım
'i gösteren C'e izin verir. ve B'in bir supremumu var , C'in o zaman bir supremumu ve yudum C = yudum bir + yudum Bı var
delil:
bir = yudum bir , b = yudum B'e izin verir. Öyle nerede , , olduğu Ifthen z = x + y ,. bundan dolayı Bir + b C için bağlayan bir ayakkabı yüzüdür bu yüzden C'in bir supremumu var , C = supC , veyi söyleyin. Biz sonraki onu gösteririz. Herhangi bir z & gtı seçin; 0. Tahmin özelliği tarafından , Birdeki bir x ve B bunun gibi o a−zdaki bir y & lt var; X ve b−z & lt; Y. Bizim, bulduğumuz Bu eşitsizlikler ilave etme. , bir + b & lt böyle; Her z için c + 2z & gt; 0 öyle.
veri nonempty subsets S ve S 'da ki R bunun gibi thatfor her sın T'ı ve T 'da ki t. Eğer T'ın bir supremum Sı var'ın o zaman bir supremum Sı var'ın bir supremumu ve.
delil:
c = yudum T'e izin verir. S 'da ki Forfor her s ve T 'da ki t , S sekilir , S'in böyle bir supremumu var. D = yudumlara izin verir. Tahmin özelliği tarafından Tahmin özelliği tarafından , Var; Herhangi bir z için s & gt; 0. D−z & lt o yüzden; . Çünkü tüm z için bu gemi ambarları & gt; 0 , bu o ima eder.
ön kuram: Veri gerçek numaralar bir ve b bunun gibi o bir & lt; Her z için b + z & gt; 0. Onların, hatta katılma nerede çağırdığı takımlar
en az ayakkabı yüzünü düzenleyen kısmenin içinde
, biz resmen sahip oluruz: Keyfinin subsets S'ı için takımları kısmen düzenledi( P , ≤) , bir supremum veya en az ayakkabı yüzü S onda tüm x için x ≤ vın, o u ≤ v tuttuğu S 'da tüm x için
o eğer S'in bir supremumu var , olan gösterilmiş kolayca olabilir: , Supremum o zaman özgündür Ve , Birisi eğer u1 ≤ ters simetrikten beri u1 = u2 olduğunu bulur. ve U2 o u1 ≤ u2 ve u2 ≤ u1 takibeten o zaman S onun her ikisi supremasıdır Supremumun ikili kavramı , En muhteşem aşağı bağlı , İnfimumu çağırılır ve Karşılaştığı gibi hatta bilinendir. Eğer bir takım S 'ın supremumu yudum gibi var olursa
( , O gösterilmiş olabilir S) Düzenli S tarafından daha fazla yaygın teori olan veya ,. , infima inf tarafından aynı şekilde gösterilir( S) Veya S. Kısmen düzenlenmiş bir takımın
Subsets'i onların seken ayakkabı yüzüsü var olmalarına rağmen , bir supremuma sahip olmak için iyi başarısız olabilir. Bundaki bazı tartışma kısımlarda , sağlanır , Maksimal öğeler , ve en az ayakkabı yüzü nerede suprema arasında fark olduğunu vurgulanana seker. Kısmenin sınıfları subsetsin kesin tiplerinin, en az ayakkabı yüzüye sahip olmak için özellikle interestingilizce olulan supremanın mümkün bulunmayışının bir sonucu gibinin, bağlayanı garanti ettiği takımları düzenledi: Bu sözde tamlık özelliklerinin düşüncesine götürür ve Özelin çok tanımlarına takımları kısmen düzenledi. Bir takımın supremumu arasında diğer düzen teorik tuhafiye
farkla
genel olarak , bu durum bir en muhteşem öğeyi içermemeyen tüm subsets için olur. Karşıtlıkta , , Onun hatta eğer bir takım bir en muhteşem öğeyi içerirsenin, en muhteşem öğe tarafından veren o zaman bir supremumu var. Bir örnek için
( Yok fakat Hala bazı maksimal öğeler , doğal numaraların takımının tüm subsetsinin takımını düşünür Powerset) . Biz bir düzenleme , ben olduğum gibi alışılmış subset dahil etmeyi alırız. E. Bir takım eğer o diğeri takımının tüm öğelerini içerirse başka takımdan daha muhteşemdir. En çok on doğal numarayı içerdiğini ayarlayan tümün takım S'ı'nı şimdi düşünür. Takım S'ın çok maksimal öğesi , beni var. E. Daha muhteşem öğe yok olan öğeler. Gerçekte , on öğeyle tüm takımlar maksimaldır. Bununla beraber , S 'ın supremumu( Yalnızca ve o yüzden en az derecede) Bütünüyle doğal numaraları hangi içerdiği ayarlayın. Birisi bir powersetin bir öğesinini seken en az ayakkabı yüzünü hesaplar( Ben. E. Takımların bir takımı) Öğelerinin sadece çekici birliği tarafından.
'e nihayet seker , Bir takım bağlanan en az bir ayakkabı yüzü sahip olmasız seken çok en az ayakkabı yüzüne sahip olur. Daha küçük öğenin, tam manasıyla hattanın, bir ayakkabı yüzü olanı bağlayan yok olana seken en az ayakkabı yüzü Daha küçük öğenin,in, tam manasıyla hattanın,ın, hattanın,ın, bir ayakkabı yüzü olanı bir ayakkabı yüzü olana seken hattanın,ın, bir ayakkabı yüzü olanını bağlayan hattanın,ın, bir ayakkabı yüzü olanını bağlayan yok olana olan daha küçük öğenin,in, tam manasıyla hattanın,ın, bir ayakkabı yüzü olanını bağlayan yok olanana seken daha küçük öğenin,in, tam manasıyla hattanın,ın, bir ayakkabı yüzü olanını bağlayan yok olanana seken en az ayakkabı yüzü Şunlar ayakkabı yüzüdür. Bu her bir en az ayakkabı yüzü bağlı bütünüyle diğer ayakkabı yüzü sektiğindenin, daha küçük olduğunu söylemez. , O sadece daha muhteşem değildir Elbette bu belirli düzen tam bir olan değilken yalnızca mümkündür( Gerçek numaralardan hoşlanın) .
bir örnek gibi. , İzin verme S doğal numaraların bütünüyle sonlu subsetsinin takımı olur ve Tam sayılar Z 'ın takımıyla S 'dan çekici tüm takımlar tarafından elde edilen kısmen düzenlenmiş takımı beraber düşünür ve Pozitif gerçek numaralar R+ 'ın takımı , subset dahil etme tarafından düzenledi Açıkça her ikisi Z ve R+ doğal numaraların bütünüyle sonlu takımlarıdan o zaman daha muhteşemdir. Henüz , Her iki Z ne de tam yerine uyduran karşıttan R+ daha küçük değildir: Her ikisi takımlar seken en az ayakkabı yüzüdür fakat Hiç biri bir supremum değildir.
en az-ayakkabı yüzü-bağlı özellik gerçek numaraların takımı için tipik olan adı geçen tamlık özelliklerinin bir örneğidir. Eğer bir ayakkabı yüzü sahip olmanın her nonempty subseti bağlayan düzenlenmiş bir takım S'ın özelliği var
. hatta Bağlayan en az bir ayakkabı yüzüsü var , S en az-ayakkabı yüzü-bağlı özelliğe sahip olmak için o zaman söylenir Gibi dikkat etti , Bütünüyle gerçek numaraların takım R'ı'nın en az-ayakkabı yüzü-bağlı özelliği var. , tam sayıların takım Z'ı'nın aynı şekilde en az-ayakkabı yüzü-bağlı özelliği var; . En az-ayakkabı yüzü-bağlı özellik yoksun olan bir takımın
bir örneği. Q , rasyonel numaraların takımıdır Bütünüyle rasyonel numaralar q bunun gibi o q2 'nin takımı & lt olan S'e izin verir; 2. S'in bağlayan o zaman bir ayakkabı yüzüsü var( 1000 , örneğin , veya 6) Fakat en az ayakkabı yüzü Q 'da bağladı. Zannetilmiş p ∈ Q için S için , bu yüzden p2 & gt bağlayan bir ayakkabı yüzüdür; 2. Q = o zaman( 2p+2) /( P + 2) Bir ayakkabı yüzü S için , ve q & lt hatta bağlanır mı; P. ( Bu ,ı görmek görmek bu ,ı o q = p −a dikkat eder( P2 − 2) /( P + 2) P2 − 2ın, pozitif olduğu , ve. )
uygun bir 'greatest-aşağı-bağlı property' var; Eğer eğer o hatta en az-ayakkabı yüzü-bağlı özelliğe sahip olursa ve yalnızca düzenlenmiş bir takım greatest-aşağı-bağlı özelliğe sahip olur; Bir takımını seken aşağının takımının en az-ayakkabı yüzü-bağlısı , Ve bir takımın ayakkabı yüzü bağlıları takımının greatest-aşağı-bağlısı takımın en az-ayakkabı yüzü-bağlısıdır. Greatest-aşağı-bağlıdır