, bir seri dönemlerin bir ardışıklığının toplamı gibi sık sık gösterilir. O onlar arasında ilave operasyonlarıyla numaraların bir listesi , örneğin bu aritmetik ardışıklığı gibi , Bir seri gösterilir:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. . . Ardışıklığın ilgi dönemlerinin çoğu durumlarındaki + 99 + 100bir kesin kuralına göre , ölçülerin bir ardışıklığı tarafından bir algoritma tarafından bir formül tarafından meselâ , veya bir rasgele numarası jeneratoru tarafından hatta üretilir.
seri sonlu , veya sonsuzluk olabilir; İlk durumda , Onların, eğer onlar bir deneme yoludan bir şey daha fazlada uygulamalı olmak olurlarsanın, temel cebirle ele alılan oldukları fakat sonsuzluk serisi matematiksel analizden araçları gerektirir. Basit serinin
örnekleri bir aritmetik dizinin bir toplamı , yazılı olan aritmetik serisini içerir: Yazılı olabilen
ve sonlu gemetrik seri , gemetrik bir ilerlemenin bir toplamı ,: Keyfi indeks takımları
//
toplamına işaret eder. . . Limit n » ∠gibi kısmi toplamlar
'in ardışıklığınını mı. Bu limit sonlu bir değere sahip olabilir; Eğer o yaparsa seri yakınsamak için söylenir; Eğer o değili yaparsa o ayrılmak için söylenir. Sonsuzluk serisinin, Zeno'nun çelişkilerinin birkacının kararlar matematiksel kenarlarına yakınsayabildiği gerçek.
en basit yakınsak sonsuzluk serisi mümkün olan belki
odur" Hayalinde canlandırın" Gerçek numara çizgisindeki yakınlaşması: Biz uzunluk 2 'nin bir çizgisini hayal edebiliriz , Ardışık parçalarla uzunluklar 1 'in 'i , ½ , ¼ , vb. sınırlarını çizdi. Sonraki parçayı isaretlemek için her zaman var oturur , son parça Alman parası gibi kalıyor olan çünkü çizgi miktarı her zaman Aynıdır: bu yüzden Biz biz ½ sınırlarını çizince sonraki ¼ı elbette isaretleyebiliriz. , Bizim hala uzunluk ½ işaretsizin bir parçamız var Bu tartışma toplamın, eşit 2 olduğunu ispat etmez( Rağmen o) fakat Onun, en çok 2 — olduğu'nu ispat edin. yani Serinin bağlayan bir ayakkabı yüzüsü var
bu seri gemetrik bir seridir ve Matematikçiler onu ekseriyetle yazar:
bir sonsuzluk serisi öğeler bir nerede gerçek olduğu
gibi resmen yazılır( Veya kompleks) Numaralar. Biz bu serinin, eğer limit
var olursa toplamının, S , olan S 'a , veya yakınsadığını söyleriz. ve Eşit Sdir Eğer bunun gibi numara yok seri ayrılmak için o zaman söylenir.
matematikçiler sıracaların bir çifti gibi bir seriyi ekseriyetle tanımlar: Serinin dönemlerinin ardışıklığı: A0 , a1 , a2 ,. . . ; Ve kısmi toplamlar S0 'ın ardışıklığı , S1 , S2 ,. . . Nerede. Simgelenim: Sıracaların önsel bu çifti ,ı o zaman gösterir Sıracaların önsel bu çifti ,ı o zaman gösterir veya Yakınsamayabilir. , fakat hangisi her zaman iyi Yakınlaşma durumunda , ben. E. , , Eğer kısmi toplamlar SN 'ın ardışıklığının bir limidi var simgelenim bu ardışıklığın limidi hatta gösterirdi. Bunlar iki tamamen farklı nesneler arasında bir farkı yapmak( Ardışıklık vs. Sayısal değer) , birisi limitleri bazen ihmal edebilir( Ve toplamın sembolunun aşağısında) Önceki durumda , o birisinin, kastetilen olduğu bağlamdan ekseriyetle açık olmasına rağmen.
hatta , bunun gibi bir ardışıklığın yakınlaşmasının farklı tuhafiyesi var olur( Kati yakınlaşma , summability , vb.) . Ardışıklığın öğeleri( Ve serinini böyle) Basit numaralar değil mi , Fakat , örneğin , fonksiyonlar , yakınlaşmanın hala daha fazla tipleri düşünülmüş olabilir( Pointwise yakınlaşma , üniforma yakınlaşması , vb.. ; Aşağıda görün) .
matematikçiler diğere bu deyim , serinin karşılık tuhafiyesini uzatır. Örneğin , , Biz biz onun, ayakta durdığı bir tekrarlanan kesirden söz edince , gerçekte , seri hakkında sadece konuşuyoruz( 0.1 + 0.01 + 0.001 +. . . ) . Fakat çünkü bunlar seri gerçek numaralara her zaman yakınsar( Tamlık aksiyomunu ne çağırdığı) , bu yoldaki seri söz etmek için onların, ayakta durdıkları numaralardan söz etmek gibi aynıdır. Eğer biz 0.111 arasında farkı yaparsak , o duyarlıkları özellikle gücendirmeli. . . Ve. Daha az açık , fakat o biz bizim, limit kanunlarının, aritmetik operasyonlarını koruduğu delil bilgili yalnızcanı resmileştirebildiğimizi düşününcenin, savunulamaz olmayan tartışmadır. 0.999'i görün. . . Daha fazla için. Bir fonksiyonun bir sonsuzluk serisi genişletmesinin sonsuzluk serisi
fikiri sonsuzluk serisi
, Reçeller Gregory hatta Sonsuzluk serisinde çalıştı ve Birkaç Maclaurin seriyi yayımladı. Onların, çay Taylor tarafından sağlanan var oldıkları 1715 'te , tüm fonksiyonlar için Taylor seri yapma için genel bir yöntem. 18'inci asırdaki Leonhard Euler , Hypergeometric serinin teorisi ve q-seriyi geliştirdi. Bir serinin yakınlaşma kriterinin
ders çalışması taraftarlar daha ilerisi Kerala okulda geliştirenin, sonsuzluk serisi yakınlaşması testleri ,ı geliştiren 14'üncü asırda Madhava 'yla , başladı. Avrupa 'da ki
bununla beraber , sonsuzluk serisi geçerliğinin soruşturması 19'uncu asırda manyetik alan öIçü birimiyle başlamak için düşünülür. Euler manyetik alan öIçü biriminin, 1812 'de bir biyografiyi yayımladığı hypergeometric seri
'i zaten düşünmüştü. O yakınlaşmanın daha basit kriteri , ve kalıntıların soruları ve yakınlaşma aralığını kurdu.
Cauchy( 1821) Yakınlaşmanın sert testlerinde ısrar etti; O eğer iki seri ister istemez öyle değil olan yakınsak ürünleri olursa onunlanın, etkili kriterin keşifine başladığını gösterdi. Dönem yakınlaşması ve ayrılma Gregory tarafındandan önce uzunu içeri soğulmuştu( 1668) . Leonhard Euler ve Manyetik alan öIçü birimi çeşitli kriteri vermişti , Ve Colin Maclaurin Cauchy'un keşiflerinin bazısını önceden tahmin etmişti. Cauchy bunun gibi bir formda kompleks bir fonksiyonun genişletmesi tarafından güç serisi teorisi ilerledi.
Abel( 1826) Seri
'de ki biyografisinde Cauchy'un sonlarının kesinini düzeltti ve Mın kompleks değerleri için serinin tamamen bilimsel bir toplaması ve xı verdi. O yakınlaşma sorularında süreklilik konusuna görenin gereksinimini gösterdi.
Cauchy'un yöntemleri genel kriter yerine özeli götürdü , Ve aynı Raabe 'nin 'i söylenen olur( 1832) De Morgan 'ın konusunun ilk ayrıntılı soruşturmasını yapan ,( 1842 'den) , ki logaritmik test DuBois-Reymondu( 1873) Ve Pringsheim( 1889) Bir kesin bölgesinin içinde başarısız olmak için gösterdi; Bertrand 'ın 'ı( 1842) , başlık( 1843) , Malmsten( 1846 , 1847 , bütünleştirmesiz ikincisi) ; ateşi karıştırır( 1847) , Paucker( 1852) , Tchebichef( 1852) , ve Arndt( 1853) .
genel kriter Kummer 'le başladı( 1835) , ve Eisenstein tarafından çalışılmış( 1847) , fonksiyonların teorisine çeşitli yardımlarındaki Weierstrass , Dini( 1867) , DuBois-Reymond( 1873) , ve çok diğerleri. Pringsheim'in( 1889 'dan) Anılar en tam genel teoriyi sunar. Üniforma yakınlaşması
teorisi Cauchy tarafından davranıldı( 1821) , Sınırlamaları Abel tarafından belirdilen oluyor fakat O hucum etmek için ilk başarıyla Seidleydi ve ateşi karıştırır( 1847-48) . Cauchy problemi tekrar topladı( 1853) , Abel'in eleştirisini itiraf ediyor , Ve zaten tesis eden ateşi karıştıran aynı sonlara ulaşıyor. Thomé öğretiyi kullandı( 1866) fakat Vardı. Eğer o yakınsak olursa
bir seri yarım-yakınsak olmak için söylenir. Fakat tamamiyle yakınsak değildir
yarım-yakınsak seri Poisson tarafından çalışıldı( 1823) Hatta Maclaurin formülün kalıntısı için genel bir formu veren ,. Problemin en önemli çözümü vadesi dolmuş , bununla beraber Jacobi 'ye dir( 1834) , ve Farklı bir açıdan kalıntının sorusuna hucum eden farklı bir formüle ulaştı. Bu deyim hatta antreman yapıldı ve Başka birisi Malmsten tarafından verdi( 1847) . Schlömilch( Zeitschrift , Vol. Ben , p. 192 , 1856) hatta Gelişmiş Jacobi'nin kalıntısı ve Kalıntı arasında ilişki ve Bernoulli'nin fonksiyon
Genocchisi'ni gösterdi( 1852) Teoriye daha ileri bağışladı mı. Erken yazarların arasında
Wronski ,di" Loi suprême" ( 1815) Cayley 'e kadar zorla tanındı mı( 1873) Üne onu getirdi.
Fourier seri manyetik alan öIçü birimi , Abel , ve Cauchyun, sonsuzluk serisi teorisi antreman yapıyor olduğu aynı zamanda fiziksel düşüncelerin sonucu gibi araştırılıyordu. Sinüslerin genişletmesi için seri ve kosinüsler , sinüsün güçlerindeki çoklu kavislerini ve kavisin kosinüsü Jakob Bernoulli tarafından davranılmıştı( 1702) Ve erkek kardeş Johann Bernoullisi( 1701) Ve Viète tarafından hala daha erken. Euler ve Lagrange Poinsot , Schröter , Glaisher , ve Kummer'i yaptığı gibi konu ,ı basitleştirdi.
Fourier( 1807) Onun, Théorie analytique de la Chaleuru'nu dışa vurdığı kendi farklı bir problem için bir problem , xın katsayılarının kosinüsleri veya sinüsler açısından xın belirli bir fonksiyonunu genişletmek için ayarlayın( 1822) . Euler seride katsayılar belirleme için formülü zaten vermişti; Fourier öne sürmek için ilkti ve Genel teoremi ispat etmek için kalkışın. Poisson( 1820-23) Hatta farklı bir açıdan probleme hucum etti. Fourier değili yaptı , Bununla beraber , serisinin yakınlaşması tahta kanepe sorusu , bir sorun Cauchy için ayrıldı( 1826) Ve Dirichlet için'e kalkışmak( 1829) Tamamen bilimsel bir tavırda ele almak( Fourier serinin yakınlaşmasını görün) . Dirichlet'in tedavisi( Crelle , 1829) , Trigonometrik serinini eleştiri konusu ve Riemann tarafından düzelmeydi( 1854) , Heine , Lipschitz , Schläfli , ve DuBois-Reymond. Trigonometriğin teorisine diğer ünlü bağışçıların arasında ve Fourier seri Dini , Hermite , Halphen , Krause , Byerly ve Appelldi. Sonsuzluk serisi
'in serisi yakınsarsa
bir seri
yakınsamak için tamamiyle söylenir. Bu durumda , Orijinal seri ve Onun tüm reorderingsi , Yakınsayın , Ve aynı toplama karşı yakınsayın.
Riemann seri teoremi o zaman birisinin, her zaman öyle eğer bir seri tamamiyle , fakat değile yakınsarsa yeniden ısmarlanmış serinin, ayrıldığı dönemlerin bir yeniden ısmarlamasını bulabildiğini söyler. , ayrıca ve S herhangi bir gerçek numaradır , Birisi eğer bir gerçek olursa yeniden ısmarlanmış serinin, limit S 'la yakınsadığı bir yeniden ısmarlamanı öyle bulabilir.
birkaç önemli fonksiyonlar Taylor seri gibi gösterilmiş olabilir; Bunlar bağımsız kimse değişkenin güçleri bulaştırıyor olan sonsuzluk serisidir ve Güç serisini hatta çağırılır. Örneğin , seri
tüm x için eski eşe yakınsar. Hatta yakınlaşma yarıçabını görün.
, matematikçiler meselâ Leonhard Euler onlar yakınsak olmalarına rağmen sonsuzluk serisiyle , tarihe göre cömertçe işletti. Seri yakınlaşmasının özenli delilleri hesabın, bir ses ve on dokuzuncu asırda doğru kurmayı ne zaman giydiğini her zaman gerektirildi. Bununla beraber , non-yakınsak seriyle resmi operasyon soyut cebirde çalışılan resmi güç serisinin yüzüklerinde tutulmuş. Resmi güç serisi tanımlamak için hatta; Resmi güç serisi ele almak için başka türlü zor olan tanımlamak için hatta; Bu fonksiyonlar üretmenin yöntemidir.
bir Dirichlet seri sın, nerede kompleks bir numara olduğu form
'in birisidir. Eğer sın gerçek bölümü bir numara yakınlaşma apsisini çağırdığınden daha az olursa genellikle bunlar yakınsama.
Asymptotic seri , asymptotic genişletmeler , başka türlü sonsuzluk serisidir ki kısmi toplamları bilgi alanının bazı noktasının limidinde iyi tahminler oldu. Onların, yakınsamadıkları genel olarak. Fakat onlar dönemlerin sonlu bir numarası için arzu edilmiş cevaba kapadan bir değeri sağlayan tahminlerin sıracaları , her biri gibi yararlıler. Fark bir asymptotic seri yakınsak seri olabilen , yolu arzu ettiği kadarın, bir cevap kesini üretmek için yapılmış olamayan. Gerçekte , dönemlerin bir kesin numarası , tipik bir asymptotic seri en iyi tahminine ulaştıktan sonra; Eğer daha fazla dönemler içerilen olsaydı en bunun gibi seri kötü cevaplarını üretecek.
Cesà ro toplama ,( C , k) Toplama , Abel toplama , ve Borel toplama daha zayıfı gittikçe artarak sağlar( Ve bundan dolayı gittikçe artarak farklı seriye uygulanabilir) Seri toplamları tarif etmenin aracı. Seri
düşüncesi her abelian topological grupta tanımlanan olur; Durum karşı karşıya gelilen çoğu oğunlukla Bir Banach uzayda serinin osudur. Keyfi indeks takımları
benzer tanımlarnda üzerindeki
gibi serinin toplamını tanımlarız. ve O seri bir yakınsamayı kayıtsız şartsız söyler O böyle bütünüyle sonlu kısmi toplamların limididir. çünkü F tamamen düzenlenmez çünkü uncountably çok sonlu kısmi toplamlar olabilir , Bu oldukça kısmi toplamların bir ardışıklığının bir limidi , fakat bir ağını değildir.
bu tanım toplamanın düzenine hissetmezdir , Bu yüzden limit şartlı olarak yakınsak seri için var olmayacak. Eğer , bununla beraber ben bir iyi-ordered takımım( Örneğin herhangi bir sıra) , Eğer bu limit var olursa birisi sonlu birinci parçalar
'in kısmi toplamlarının limidini düşünebilir. , Seri o zaman yakınsar Kayıtsız yakınlaşma gerçek sıracaların durumunda gibi yakınlaşma , fakat , diğer taraftan ima eder. Eğer X bir Banach uzay olursa o zaman birisi kati yakınlaşmanın düşüncesini tanımlayabilir. ve Ben iyi-orderedim Eğer
var olursa bir seri tamamiyle yakınsar. Eğer bir ardışıklık tamamiyle o zaman kayıtsız şartsız yakınsayan ona yakınsarsa fakat karşıt sonlu boyutlu Banach uzaylarda yalnızca tutar.
eğer seri sonlu olmayan ayrılabilir olmayan bir uzayda değer bicilen olsaydı bazı durumlarda olduğuna dikkat eder. , Birisi benim subsetsinin üzerinde kısmi toplamların ağlarının limitlerini düşünmeli Eğer countably çok dönem en çok en çok sıfırdan farklı olursa gerçek-valued seri için
, bir uncountable toplam yalnızca yakınsar. , Hindistan'a aitler 'in takımı olan
'e ünlem hakikate izin verir. Her bir sonludur( Seri başka türlü ayrılacaktı) . Hindistan'a aitler 'in takımı ki dönemleri Archimedean prensip tarafındandanın birliği olan sıfırdan farklı. , Ve countably çok countable takımların birliği seçim aksiyomu tarafından countabledir Gerçek fonksiyonların
ara sıra ayrılmazları gerçeklerin üzerinde topladığı gibi tanımlanır. Bu tercüme çok harfi harfine alılan olmayan sonuç şovlarının üzerinde. Diğer taraftan , gerçeklerde üzerindeki herhangi bir toplam iki yapı arasında çok benzerlikten sorumlu olan sayma ölçüsüne göre ayrılmaz bir , gibi anlaşılmış olabilir.
delil ilerleme genel olarağı ilk-countable topological vektör uzayları , meselâ Banach uzaylar bile; Şunlar Hindistan'a aitler olmak için tanımlayın ki dönemleri 0 'ın n-th civarının dışı. Eğer onlar ilk-countable olmayan uzaylarda değer bicilen olsaydılar uncountable seri ilginç böyle yalnızca olabilir.